近日，河南大学数学与统计学院在非线性分析与偏微分方程领域研究取得新进展。学院两位教师与合作者的两项研究成果相继发表于国际高水平综合类数学期刊《Mathematische Annalen》。

杨小龙副教授与意大利比萨大学Luigi Forcella博士、合肥工业大学罗肖副教授、浙江师范大学杨涛副教授合作的论文“Standing waves for a Schrödinger system with three waves interaction”研究了等离子体中拉曼放大现象所对应的三波相互作用非线性薛定谔方程组的驻波问题。他们通过引入恰当的不等式约束，克服了三波相互作用导致能量泛函结构不确定所带来的困难，证明了基态的存在性并刻画了其质量坍缩行为。还证明了基态集合在相关柯西流下的稳定性，构造了一个对应于强不稳定驻波的激发态，并刻画了该激发态的半平凡极限行为。通过控制激发态的能量，给出了相应柯西问题解全局存在性或有限时间爆破的充分条件。

论文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-026-03380-1

刘忠原教授与华中师范大学罗鹏教授合作的论文“Some new observations on the Hénon equation with critical Sobolev exponent”分析了临界Hénon方程正径向解的渐近性质，并在此基础上构造了无穷多个非径向变号解，为非线性椭圆方程的定性理论提供了新的见解。Hénon方程是一类带有幂次权重的半线性椭圆方程，在天体物理、流体力学等领域具有深刻的物理背景。他们聚焦于该方程唯一的正径向解的渐近行为，解决了Hirano于2009年提出的猜想，证明了该正径向解是非退化的且其Morse指数恰好为N+1。基于上述分析，在五维空间中，运用爆破分析方法和有限维约化技巧，构造了临界Hénon方程的无穷多个非径向变号解。该成果不仅深化了对Hénon方程解结构的理解，也为更一般临界椭圆问题的非径向解构造提供了新思路与新方法。

论文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-026-03442-4

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